Exercice 4, § 1

Soient G un groupe ordonné, P l’ensemble des éléments $\geq 0$ de G, $f$ l’application canonique de G sur un groupe quotient $G/H$. Pour que $f(P)$ détermine sur $G/H$ une structure de groupe ordonné, il faut et il suffit que $0 \leq y \leq x$ et $x \in H$ entraînent $y \in H$; on dit alors que H est un sous-groupe isolé de G, et $G/H$ est considéré comme muni de cette structure de groupe ordonné. Si G est de plus réticulé, alors, pour que $G/H$ soit réticulé et que l’on ait l’identité f(\sup(x, y)) = \sup(f(x), f(y)), il faut et il suffit que les relations $|y| \leq |x|$ et $x \in H$ entraînent $y \in H$; montrer que ceci exprime que $H$ est un sous-groupe isolé et filtrant. Montrer qu’un groupe réticulé $G$ qui n’a d’autres sous-groupes isolés et filtrants que lui-même et $\{0\}$ est totalement ordonné (considérer les sous-groupes isolés et filtrants engendrés par deux éléments $> 0$ de $G$); \* en déduire (TG, V, p. 16, exerc. 1) que $G$ est alors isomorphe à un sous-groupe du groupe additif des nombres réels. \*