Bài tập 4, § 1

Cho G là một nhóm có thứ tự, P là tập hợp các phần tử dương của G, và f là ánh xạ tự nhiên từ G lên một nhóm thương G/H. Để f(P) làm cho G/H thành một nhóm có thứ tự, điều kiện cần và đủ là 0 ≤ y ≤ x và x ∈ H kéo theo y ∈ H; khi đó H được gọi là một nhóm con lồi của G, và G/H được xem là một nhóm có thứ tự theo cách này. Nếu G có thứ tự dàn, thì điều kiện cần và đủ để G/H có thứ tự dàn và $f(\sup(x, y)) = \sup(f(x), f(y))$ là các quan hệ |y| ≤ |x| và x ∈ H kéo theo y ∈ H; hãy chứng minh rằng điều này nói rằng H là một nhóm con lồi lọc. Hãy chứng minh rằng một nhóm có thứ tự dàn không có nhóm con lồi lọc nào ngoài chính nó và {0} thì được sắp thứ tự toàn phần (xét các nhóm con lồi lọc sinh bởi hai phần tử dương của G); \* suy ra (Gen. Top., V, p. 25, Ex. 1) rằng khi đó G đẳng cấu với một nhóm con cộng tính của các số thực. \*