Exercice 11, § 2

Soient K un corps ordonné, G un sous-corps de K. a) Montrer que, pour que $x \neq 0$ soit infiniment grand par rapport à G (exerc. 1), il faut et il suffit que $x^{-1}$ soit infiniment petit par rapport à G. On dit que K est comparable à G s’il n’existe aucun élément de K infiniment grand par rapport à G (ni, par suite, aucun élément $\neq 0$ de K infiniment petit par rapport à G). Pour que K soit comparable à son sous-corps premier Q, il faut et il suffit que le groupe additif de K soit archimédien (VI, p. 34, exerc. 31), \* et par suite que K soit isomorphe à un sous-corps de R (VI, p. 34, exerc. 33, c)). *b) Montrer que, dans l’anneau F(G) des éléments de K non infiniment grands par rapport à G, l’ensemble I(G) des éléments infiniment petits par rapport à G est un idéal maximal ; en outre, sur le corps quotient K(G) = F(G)/I(G), la structure d’ordre déduite de celle de F(G) par passage au quotient (VI, p. 29, exerc. 4) est compatible avec la structure d’anneau et est totale. c) Montrer qu’une classe mod. I(G) ne peut contenir qu’un seul élément de G ; en déduire que l’application canonique de G dans K(G) est un isomorphisme du corps ordonné $G$ sur un sous-corps $G'$ du corps ordonné K(G), et que K(G) est comparable à $G'$.