Bài tập 11, § 2

Cho $K$ là một trường có thứ tự và $G$ là một trường con của $K$. a) Chứng minh rằng $x \neq 0$ là vô hạn lớn đối với $G$ khi và chỉ khi $x^{-1}$ là vô hạn nhỏ đối với $G$. Ta nói rằng $K$ khả so sánh với $G$ nếu không có phần tử nào của $K$ vô hạn lớn đối với $G$ (và do đó cũng không có phần tử khác không nào của $K$ vô hạn nhỏ đối với $G$). Điều kiện cần và đủ để $K$ khả so sánh với trường con nguyên tố $\mathbf{Q}$ của nó là $K$ là archimedean (VI, p. 35, Ex. 31), \* và do đó $K$ đẳng cấu với một trường con của $\mathbf{R}$ (VI, p. 36, Ex. 33c)). ■ b) Chứng minh rằng, trong vành $F(G)$ gồm các phần tử của $K$ không vô hạn lớn đối với $G$, tập hợp $I(G)$ gồm các phần tử vô hạn nhỏ đối với $G$ là một iđêan cực đại; hơn nữa, thứ tự trên trường thương $K(G) = F(G)/I(G)$ cảm sinh từ thứ tự của $F(G)$ tương thích với cấu trúc vành và là toàn phần. c) Chứng minh rằng một lớp modulo $I(G)$ có thể chứa nhiều nhất một phần tử của $G$; suy ra rằng ánh xạ tự nhiên từ $G$ vào $K(G)$ là một đẳng cấu từ trường có thứ tự $G$ lên một trường con $G'$ của $K(G)$, và $K(G)$ khả so sánh với $G'$.