Exercice 12, § 2

Soient K un corps ordonné maximal, f un polynôme sur K, a et b deux racines de f dans K telles que $a < b$ et que f n’ait aucune racine entre a et b. Montrer que si g est une fraction rationnelle sur K dont le dénominateur ne s’annule pas pour $a \leq x \leq b$, l’équation $f(x)\ g(x) + f'(x) = 0$ a un nombre impair de racines dans $]a, b[$ (chacune des racines étant comptée avec son ordre de multiplicité ; utiliser la prop. 5 de VI, p. 24). En déduire que si h est une fraction rationnelle sur K ayant a et b pour racines, et dont le dénominateur ne s’annule pas dans $]a, b[$, l’équation $h'(x) = 0$ a au moins une racine dans $]a, b[$.