Bài tập 12, § 2

Cho $K$ là một trường có thứ tự cực đại, cho $f$ là một đa thức trên $K$ và cho $a$ và $b$ là hai nghiệm của $F$ sao cho $a < b$ và sao cho $F$ không có nghiệm nào giữa $a$ và $b$. Chứng minh rằng nếu $g$ là một hàm hữu tỉ trên $K$ có mẫu số không triệt tiêu đối với $a \leq x \leq b$ thì phương trình $f(x)g(x) + f'(x) = 0$ có một số lẻ các nghiệm trong $(a, b)$ (trong đó mỗi nghiệm được tính với bội số của nó; dùng Mệnh đề 5 của VI, p. 25). Suy ra rằng nếu $h$ là một hàm hữu tỉ trên $K$ có $a$ và $b$ là các nghiệm và có mẫu số không triệt tiêu trong $]a, b[$, thì phương trình $h'(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong $]a, b[$.