Exercice 14, § 2

a) Soient K un corps ordonné maximal, E un sous-corps de K, et f un polynôme sur E ; montrer que toutes les racines de f dans K sont dans F(E) (exerc. 11, b)) (utiliser la prop. 4 de VI, p. 23). En déduire que, si G est un sous-corps de K, et E $\subset K$ une extension comparable à G (exerc. 11), l’ensemble des éléments de K algébriques sur E est un corps ordonné maximal, comparable à G. b) Déduire de a) que le corps K(G) (exerc. 11, b)) est, avec les hypothèses de a), un corps ordonné maximal. c) Soit f un polynôme sur G, de degré $\geq 1$. Montrer que, pour que $f(t)$ soit infiniment grand par rapport à G, il faut et il suffit que t soit infiniment grand par rapport à G ; pour que $f(t)$ soit infiniment petit par rapport à G, il faut et il suffit que t soit congru (mod. I(G)) à une racine de f dans K (décomposer K en intervalles par les racines de f et de $f'$ appartenant à K, et utiliser l’exerc. 13 ; remarquer que, si $x < t$ et si $x \in K$ n’est pas congru à t mod. I(G), il existe $y \in K$ tel que $x < y < t$ et que $y - x \in G$).