Bài tập 14, § 2

a) Cho $K$ là một trường có thứ tự cực đại, cho $E$ là một trường con của $K$ và cho $f$ là một đa thức trên $E$; chứng minh rằng mọi nghiệm của $f$ trong $K$ đều thuộc $F(E)$ (Ex. 11, b)) (dùng Mệnh đề 4 của VI, p. 24). Suy ra rằng nếu $G$ là một trường con của $K$ và $E \subset K$ là một mở rộng so sánh được với $G$ (Ex. 11) thì tập hợp các phần tử của $K$ đại số trên $E$ là một trường có thứ tự cực đại so sánh được với $G$. b) Suy ra từ a) rằng, dưới các giả thiết của a), trường $K(G)$ (Ex. 11, b)) là một trường có thứ tự cực đại. c) Cho $f$ là một đa thức có bậc $\geq 1$ trên $G$. Chứng minh rằng $f(t)$ là vô hạn lớn đối với $G$ khi và chỉ khi $t$ là vô hạn lớn đối với $G$; phần tử $f(t)$ là vô hạn nhỏ đối với $G$ khi và chỉ khi $t$ đồng dư modulo $I(G)$ với một nghiệm trong $K$ (tách $K$ thành các khoảng bằng cách sử dụng các nghiệm và $f'$ trong $K$, và áp dụng Ex. 13; lưu ý rằng nếu $x < t$ và nếu $x \in K$ không đồng dư modulo $I(G)$ với $t$, thì tồn tại $y \in K$ sao cho $x < y < t$ và $y - x \in G$).