Exercice 16, § 2

Algèbre, VI, p. 39

Soient K un corps ordonné maximal,

g(T) = a_0 + a_1 T + \cdots + a_n T^n

un polynôme non nul de K[T] dont toutes les racines sont dans K. Montrer que pour tout polynôme $f \in K[T]$ , le nombre des racines du polynôme

a_0 f(T) + a_1 f'(T) + a_2 f''(T) + \cdots + a_n f^{(n)}(T)

qui n’appartiennent pas à K, comptées avec leur ordre de multiplicité, est au plus égal au nombre des racines de $f$ , comptées avec leur ordre de multiplicité, qui n’appartiennent pas à K (utiliser l’exerc. 12 pour $n = 1$ , puis procéder par récurrence). En déduire que le polynôme

a_0 + \frac{a_1}{1!} T + \frac{a_2}{2!} T^2 + \cdots + \frac{a_n}{n!} T^n

a toutes ses racines dans K.

Solution

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