Exercice 21, § 2

Soit $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie de $n$ éléments d’un corps ordonné $K$, non tous nuls ; soit $(a_{i_k})_{1 \leq k \leq p}$ (où $p \leq n$) la suite extraite de $(a_i)$ formée des $a_i$ non nuls ($i_1 < i_2 < \cdots < i_p$) ; on appelle nombre de variations de la suite $(a_i)$ le nombre des indices $k \leq p - 1$ tels que $a_{i_k}$ et $a_{i_{k+1}}$ soient de signes contraires.

Soit $K$ un corps ordonné maximal et soit $f$ un polynôme non nul de $K[T]$ de degré $n > 0$ ; pour tout $a \in K$, on désigne par $w(a)$ le nombre de variations de la suite $(f^{(i)}(a))_{0 \leq i \leq n}$. Si $v$ est le nombre de racines comptées avec leur ordre de multiplicité de $f$ dans l’intervalle $[a, b]$ ($a < b$), montrer que $v \leq w(a) - w(b)$ et que la différence $w(a) - w(b) - v$ est paire (« règle de Budan-Fourier » ; décomposer l’intervalle $[a, b]$ par les racines des dérivées de $f$, et évaluer la quantité dont varie $w(x)$ lorsque $x$ traverse une de ces racines).

En déduire que si $f(T) = a_0 + a_1 T + \cdots + a_n T^n$, le nombre de racines $> 0$ de $f$, comptées avec leur ordre de multiplicité, est au plus égal au nombre de variations de la suite $(a_i)_{0 \leq i \leq n}$, et que la différence de ces deux nombres est paire (« règle de Descartes »).