Bài tập 21, § 2

Cho $(a_i)_{i \leq n}$ là một dãy hữu hạn gồm $n$ phần tử của một trường có thứ tự K, không phải tất cả đều bằng không; cho $(a_{i_k})_{k \leq p}$ là dãy con của $(a_i)$ gồm các $a_i$ khác không ($i_1 < i_2 < \ldots < i_p$); khi đó số các chỉ số $k \leq p - 1$ sao cho $a_{i_k}$ và $a_{i_{k-1}}$ có dấu đối nhau được gọi là số biến thiên của dãy $(a_i)$. Cho K là một trường có thứ tự cực đại và cho $f$ là một đa thức khác không trong $K[T]$ có bậc $n > 0$; với mọi $a \in K$ ký hiệu $w(a)$ là số biến thiên của dãy $(f''(a))_{i \leq n}$. Nếu $v$ là số nghiệm của $f$, kể cả bội số, trong khoảng ]$a, b$ (a < b), hãy chứng minh rằng $v \leq w(a) - w(b)$ và $w(a) - w(b) - v$ là số chẵn (« quy tắc Budan-Fourier »; hãy tách khoảng ]$a, b$ theo các nghiệm của $f$, và đánh giá lượng biến thiên trong $w(x)$ khi $x$ đi qua một trong các nghiệm này). Suy ra rằng nếu $f(T) = a_0 + a_1 T + \ldots + a_n T^n$, thì số nghiệm $> 0$ của $f$, kể cả bội số, không lớn hơn số biến thiên của dãy $(a_i)_{0 \leq i \leq n}$, và hiệu giữa hai số này là số chẵn (« quy tắc Descartes »).