Exercice 23, § 2

Algèbre, VI, p. 40

Soient $K$ un corps ordonné maximal, $a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ $2n$ éléments de $K$ tels que $\sum a_i \neq 0$ et $b_1 < b_2 < \cdots < b_n$ . Montrer que, pour $m$ entier $\geq 1$ , le nombre $v$ de racines dans $K$ , comptées avec leur ordre de multiplicité, du polynôme

f(T) = a_1 (T - b_1)^m + a_2 (T - b_2)^m + \cdots + a_n (T - b_n)^m

est au plus égal au nombre de variations $w$ de la suite

(a_1, a_2, \ldots, a_n, (-1)^m a_1),

et que la différence $w - v$ est paire. (Raisonner par récurrence sur $n$ , en appliquant l’exerc. 13 (VI, p. 38) à une fraction rationnelle de la forme $f(T)/(T - c)^m$ .)

Solution

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