Exercice 24, § 2

Soit $K$ un corps ordonné maximal ; on considère sur le corps de fractions rationnelles $K(X)$ une structure d’ordre qui en fasse une extension ordonnée de $K$. Montrer que cette structure d’ordre est déterminée par la connaissance de l’ensemble $A$ des $x \in K$ tels que $x < X$ (montrer que le signe de tout polynôme $f$ sur $K$ est déterminé par la connaissance de $A$, en utilisant la prop. 9 de VI, p. 27). Inversement, montrer qu’à tout ensemble $A \subset K$ tel que $x \in A$ et $y \leq x$ entraînent $y \in A$, correspond sur $K(X)$ une structure d’extension ordonnée de $K$, telle que $A$ soit l’ensemble des $x \in K$ tels que $x < X$ (même méthode). Lorsque $A$ admet un plus grand élément, ou $A$ un plus petit élément, ou lorsque $A = K$ ou $A = \emptyset$, la structure d’ordre sur $K(X)$ correspondant à $A$ est telle que $K(X)$ n’est pas comparable à $K$. Si, au contraire, $A$ et $A$ ne sont pas vides, et s’il n’existe pas de plus grand élément de $A$ ni de plus petit élément de $A$, $K(X)$ est comparable à $K$.