Bài tập 24, § 2

Cho K là một trường có thứ tự cực đại; xét một thứ tự trên trường $K(X)$ các hàm hữu tỉ làm cho nó là một mở rộng có thứ tự của K. Chứng minh rằng thứ tự này được xác định bởi tập hợp A gồm các $x \in K$ sao cho $x < X$ (chứng minh rằng dấu của mọi đa thức f trên K được xác định bởi A, sử dụng Mệnh đề 9 của VI, p. 28). Ngược lại, chứng minh rằng với mọi tập hợp $A \subset K$ sao cho $y \in A$ mỗi khi $y \leq x$ và $x \in A$, tương ứng có một thứ tự trên $K(X)$ làm cho nó là một mở rộng có thứ tự của K và sao cho A là tập hợp các $x \in K$ sao cho $x < X$ (cùng phương pháp). Khi A có một phần tử lớn nhất, hoặc $\complement A$ có một phần tử nhỏ nhất, hoặc khi $A = K$ hay $A = \varnothing$, thì thứ tự tương ứng của $K(X)$ là sao cho $K(X)$ không so sánh được với K. Mặt khác, nếu cả A lẫn $\complement A$ đều không rỗng, và không có phần tử lớn nhất nào trong A cũng như không có phần tử nhỏ nhất nào trong $\complement A$, thì $K(X)$ so sánh được với K.