Exercice 32, § 2

Soit $A$ un corps algébriquement clos de caractéristique 0. a) Les seuls éléments d’ordre fini dans le groupe $\mathrm{Aut}(A)$ des automorphismes de $A$ sont l’élément neutre et les éléments d’ordre 2 (involutions de $A$); ces derniers correspondent bijectivement aux sous-corps ordonnables maximaux $E$ de $A$ tels que $[A : E] = 2$, ou encore $A = E(i)$ (cf. exerc. 31). Si $\sigma$ est une involution de $A$ et $E$ le sous-corps des invariants de $\sigma$, le groupe $\mathrm{Aut}(E)$ des automorphismes de $E$ est isomorphe au quotient $Z(\sigma)/\{e, \sigma\}$, où $Z(\sigma)$ est le centralisateur de $\sigma$ dans $\mathrm{Aut}(A)$. b) Si $A$ est algébrique sur son corps premier $\mathbf{Q}$, deux involutions quelconques de $A$ sont conjuguées dans $\mathrm{Aut}(A)$ et le centralisateur d’une involution $\sigma$ est réduit à $\{e, \sigma\}$; $\mathrm{Aut}(A)$ et l’ensemble des involutions de $A$ ont la puissance du continu, et le centre de $\mathrm{Aut}(A)$ est réduit à $e$. c) Si $A$ a un degré de transcendance fini sur $\mathbf{Q}$, montrer que pour toute involution $\sigma$ de $A$, $Z(\sigma)$ est dénombrable (observer que si $E$ est le sous-corps des invariants de $\sigma$, $E$ est dénombrable, et tout automorphisme de $E$ qui laisse invariants les éléments d’une base de transcendance de $E$ sur $\mathbf{Q}$ est l’identité). Si $\deg.\mathrm{tr}_{\mathbf{Q}}A = n$, montrer qu’il existe au moins $n + 1$ classes de conjugaison d’involutions de $A$ (si $E \subset A$ est ordonnable maximal et tel que $[A : E] = 2$, considérer le degré de transcendance sur $\mathbf{Q}$ du sous-corps de $E$ formé des éléments invariants par $\mathrm{Aut}(E)$, et utiliser l’exerc. 24). d) Si $A$ a un degré de transcendance infini $m$ sur $\mathbf{Q}$, montrer qu’il existe des involutions $\sigma$ de $A$ telles que $\mathrm{Card}(Z(\sigma)) = \mathrm{Card}(\mathrm{Aut}(A)) = 2^m$ (en utilisant l’exerc. 24, montrer qu’il existe des corps ordonnables maximaux $E$ tels que $\deg.\mathrm{tr}_{\mathbf{Q}}E = m$, tels que si $B$ est une base de transcendance de $E$ sur $\mathbf{Q}$, pour toute partie $M$ de $B$, il y a un automorphisme $u_M$ de $E$ tel que $u_M(x) \neq x$ pour $x \in M$ et $u_M(x) = x$ pour $x \in B - M$. e) Si $\deg.\mathrm{tr}_{\mathbf{Q}}A = 1$, montrer qu’il n’existe qu’une seule classe de conjugaison d’involutions de $A$ formée d’involutions $\sigma$ telles que $Z(\sigma)$ soit infini. (Si $E$ est une extension ordonnable maximale de $\mathbf{Q}$ de degré de transcendance 1 telle que $\mathrm{Aut}(E)$ ne soit pas réduit à l’élément neutre, montrer que $E$ ne peut être comparable à $\mathbf{Q}$ en utilisant l’exerc. 24; si $t \in E$ est infiniment grand par rapport à $\mathbf{Q}$, montrer que pour tout automorphisme $u$ de $E$, $u(t)$ est infiniment grand par rapport à $\mathbf{Q}$ et que réciproquement, pour tout $t' \in E$ infiniment grand par rapport à $\mathbf{Q}$, il existe un automorphisme $u$ de $E$ tel que $u(t) = t'$, en utilisant l’exerc. 15 de VI, p. 38.) f) Soit $u$ un automorphisme de $A$ qui commute à toutes les involutions de $A$. Montrer que si $a \in A$ est transcendant sur $\mathbf{Q}$, $a$ et $u(a)$ sont algébriquement dépendants sur $\mathbf{Q}$. (Raisonner par l’absurde en considérant deux éléments $b, c$ de $A$ tels que $b^2 = a,\ c^2 = -u(a)$, et en observant qu’il existe une extension ordonnable maximale $E \subset A$ telle que $[A : E] = 2$ et que $b, c$ soient dans $E$; en remarquant que l’on doit avoir $u(E) = E$, obtenir une contradiction.) g) Déduire de f) que pour tout élément $a \in A$ transcendant sur $\mathbf{Q}$, on a nécessairement $u(a) = a$ (considérer une extension ordonnée maximale $E$ de $\mathbf{Q}(a)$ contenue dans $A$, algébrique

EXERCICES

sur $\mathbf{Q}(a)$ et comparable à $\mathbf{Q}$, en utilisant l’exerc. 24). Conclure que $u$ est nécessairement l’identité (observer que si $a$ est algébrique sur $\mathbf{Q}$ et $b$ transcendant sur $\mathbf{Q}$, $ab$ est transcendant sur $\mathbf{Q}$).