Bài tập 32, § 2

Cho A là một trường đóng đại số có đặc số 0. a) Các phần tử duy nhất có cấp hữu hạn trong nhóm Aut(A) các tự đẳng cấu của A là phần tử đơn vị và các phần tử có cấp 2 (các phép đối hợp của A) ; các phần tử sau này tương ứng song ánh với các trường con E có thứ tự cực đại của A sao cho $[A : E] = 2$, nghĩa là $A = E(i)$ (xem Bài tập 31). Nếu a là một phép đối hợp của A và E là trường con cố định của a, thì nhóm Aut(E) các tự đẳng cấu của E đẳng cấu với nhóm thương $Z(\sigma)/\{e, \sigma\}$, trong đó $Z(\sigma)$ là tâm hoá của $\sigma$ trong Aut(A). b) Nếu A đại số trên trường nguyên tố Q của nó thì hai phép đối hợp bất kỳ của A là liên hợp trong Aut(A) và tâm hoá của một phép đối hợp a là $\{e, a\}$ ; nhóm Aut(A) và tập hợp các phép đối hợp của A có lực lượng của continuum, và tâm của Aut(A) là $\{e\}$. c) Nếu A có bậc siêu việt hữu hạn trên Q, hãy chứng minh rằng tâm hoá $Z(\sigma)$ của mọi phép đối hợp a của A là đếm được (nhận xét rằng trường con cố định E của a là đếm được, và mọi tự đẳng cấu của E cố định các phần tử của một cơ sở siêu việt nào đó của E trên Q thì là đồng nhất). Nếu deg . tr_QA = n, hãy chứng minh rằng tồn tại ít nhất n + 1 lớp liên hợp của các phép đối hợp của A (nếu E $\subset A$ là cực đại có thể sắp thứ tự với $[A : E] = 2$, hãy xét bậc siêu việt trên Q của trường con của E gồm các phần tử được cố định bởi Aut(E), và sử dụng Bài tập 24). d) Nếu A có bậc siêu việt vô hạn m trên Q, hãy chứng minh rằng tồn tại các phép đối hợp $\sigma$ của A sao cho Card$(Z(\sigma)) =$ Card$(\mathrm{Aut}(A)) = 2^m$ (sử dụng Bài tập 24 để chứng minh rằng tồn tại các trường có thể sắp thứ tự cực đại E sao cho deg . tr_QE = m, sao cho với mọi tập con M của một cơ sở siêu việt B bất kỳ của E trên Q, tồn tại một tự đẳng cấu $u_M$ của E sao cho $u_M(x) \neq x$ với $x \in M$ và $u_M(x) = x$ với $x \in B - M$). e) Nếu deg . tr_QA = 1, hãy chứng minh rằng chỉ có một lớp liên hợp của các phép đối hợp của A mà các tâm hoá của chúng là vô hạn. (Nếu E là một mở rộng có thể sắp thứ tự cực đại của Q có bậc siêu việt 1 sao cho Aut(E) là không tầm thường, hãy sử dụng Bài tập 24 để chứng minh rằng E không thể so sánh được với Q ; nếu t $\in E$ là vô hạn lớn đối với Q, hãy chứng minh rằng $u(t)$ cũng như vậy với mọi tự đẳng cấu $u$ của E, và ngược lại nếu $t'$ là vô hạn lớn đối với Q thì tồn tại một tự đẳng cấu $u$ của E sao cho $u(t) = t'$, sử dụng Bài tập 15 của VI, p. 40.) f) Cho $u$ là một tự đẳng cấu của A giao hoán với mọi phép đối hợp của A. Hãy chứng minh rằng nếu a $\in A$ là siêu việt trên Q thì a và $u(u)$ phụ thuộc đại số trên Q. (Xét hai phần tử b, c của A sao cho $b^2 = a, c^2 = -u(a)$ và nhận xét rằng tồn tại một mở rộng có thể sắp thứ tự cực đại E $\subset A$ sao cho $[A : E] = 2$ và b, c thuộc E ; thu được một mâu thuẫn bằng cách nhận thấy rằng $u(E) = E.$) g) Suy ra từ f) rằng $u(a) = a$ với mọi phần tử a $\in A$ siêu việt trên Q (xét một mở rộng có thứ tự cực đại E của $\mathbf{Q}(a)$ được chứa trong A, đại số trên $\mathbf{Q}(a)$ và so sánh được với Q, sử dụng Bài tập 24). Kết luận rằng u nhất thiết là đồng nhất (nhận xét rằng nếu a là đại số trên $\mathbf{Q}$ và $b$ là siêu việt trên Q thì $ab$ là siêu việt trên Q).