Exercice 40, § 2

Soit K un corps ordonné. Sur le corps des séries formelles $E = K((X))$, on définit une structure de corps ordonné en prenant comme éléments $> 0$ les séries formelles $\sum_{n = -h}^{\infty} r_n X^n$ dont le coefficient du terme non nul de plus petit degré est $> 0$. a) Montrer que si $L = K(X)$ est le sous-corps de E formé des fractions rationnelles à une indéterminée, on a $E = \tilde{L}$ (exerc. 36) à isomorphisme près de corps ordonné (observer que pour tout élément $a > 0$ de L, il existe un entier $n > 0$ tel que $0 < X^n < a$). b) On suppose que K est ordonné maximal. Montrer que la réunion F des corps $K((X^{1/n}))$ pour $n \geqslant 1$, ordonnés de la même manière que E, est une extension algébrique ordonnée de E qui est ordonnée maximale (utiliser l’exerc. 2 de V, p. 143). c) Montrer que le corps $\tilde{F}$ (exerc. 36) est le corps des séries formelles $\sum_r \alpha_r X^r$, où $r$ parcourt l’ensemble Q des nombres rationnels, $\alpha_r \in K$ et l’ensemble des $r$ tels que $\alpha_r \neq 0$ est une suite croissante finie ou tendant vers $+\infty$; on ordonne ce corps de la même manière que E. En particulier $\tilde{F} \neq F$.