Bài tập 40, § 2

Cho K là một trường có thứ tự. Biến trường các chuỗi lũy thừa hình thức $E = K((X))$ thành một trường có thứ tự bằng cách lấy các phần tử $> 0$ là các chuỗi lũy thừa hình thức $\sum_{n=h}^{\infty} r_n X^n$ mà hệ số khác không có bậc nhỏ nhất là $> 0$. a) Chứng minh rằng nếu $L = K(X)$ là trường con của E gồm các hàm hữu tỉ theo một bất định, thì $E = \tilde{L}$ (Bài tập 36) sai khác đẳng cấu của các trường có thứ tự (chú ý rằng với mọi phần tử $a > 0$ của L tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $0 < X^n < u$). b) Giả sử rằng K là cực đại được sắp thứ tự. Chứng minh rằng hợp F của các trường $K((X^{1/n}))$ (được sắp thứ tự theo cùng cách như E) là một mở rộng đại số có thứ tự của E mà là cực đại được sắp thứ tự (sử dụng Bài tập 2 của V, p. 150). c) Chứng minh rằng trường $\tilde{F}$ (Bài tập 36) là trường các chuỗi hình thức $\sum \alpha_r X^r$, trong đó r chạy qua tập hợp $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ, và trong đó $a_r \in K$ và tập hợp các r sao cho $a_r \neq 0$ là một dãy tăng hoặc hữu hạn hoặc tiến tới $+\infty$; hãy sắp thứ tự trường này theo cùng cách như E. Đặc biệt $\tilde{F} \neq F$.