Exercice 1, § 1

Montrer que, si $A$ est un anneau intègre, l’anneau de polynômes $A[X_i]_{i\in I}$ n’est pas un anneau principal lorsque l’une des deux conditions suivantes est réalisée : $1^\circ$ Card(I) $\geqslant 2$; $2^\circ$ $A$ n’est pas un corps (considérer les idéaux $(X_\alpha) + (X_\beta)$ pour $\alpha \neq \beta$, et $(a) + (X_\alpha)$, où $a$ est un élément non inversible et $\neq 0$ dans $A$).