Exercice 10, § 1

Soit $d$ un entier rationnel non divisible par un carré $> 1$. Dans le corps quadratique $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ on se propose d’étudier les unités, c’est-à-dire les éléments inversibles de l’anneau $A$ des entiers de $K$ (exerc. 8, b)). a) Si $d < 0$ (« corps quadratiques imaginaires ») montrer que les seules unités de $K$ sont 1 et $-1$, sauf pour $d = -1$, où $i$ et $-i$ sont aussi des unités, et $d = -3$, où les quatre nombres $\frac{1}{2}(\pm 1 \pm \sqrt{-3})$ sont aussi des unités. b) On suppose désormais $d > 0$ (« corps quadratiques réels »), et l’on suppose $K$ plongé dans une extension ordonnée maximale de $\mathbf{Q}$ (VI, p. 24), \* par exemple dans $\mathbf{R}$. \* Montrer que les unités positives forment un sous-groupe $U'$ du groupe $U$ des unités de $K$, et que $\bar{U}$ est produit direct de $U'$ et de $\{ -1, 1 \}$. c) Montrer que les unités de $K$ sont les entiers de norme 1 ou $-1$. d) Montrer que le groupe $U'$ n’est pas réduit à 1 (on note $D$ le discriminant de la base des entiers (exerc. 8, c)); montrer que les entiers de $K$ tels que $N(\alpha) \leq D$ se répartissent en un nombre fini de classes mod. $U$; prendre un entier $\beta_i$ dans chacune; si $B$ est un nombre rationnel tel que $0 < B < \inf(|\beta_i|)$, montrer (exerc. 9) qu’il existe un entier $\beta$ de $K$ tel que $0 < |\beta| \leq B$ et que $N(\beta) \leq D$; en déduire que l’un des $\beta \beta_i^{-1}$ est une unité $\eta$ telle que $|\eta| < 1$. e) Montrer que $U'$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$ (montrer qu’il existe une unité $\varepsilon$ telle que $|\varepsilon| < 1$ et que $|\varepsilon|$ soit le plus grand possible, en utilisant l’exerc. 9 et le fait que $|\overline{\xi}| = |\xi|^{-1}$ pour une unité). f) Montrer que, dans $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$, l’élément $\sqrt{2} - 1$ est un générateur de $U'$, et est de norme $-1$.

g) Montrer que si $d$ a un facteur premier $p$ de la forme $4n - 1$, tout générateur de $U'$ est de norme 1. (Observer que $-1$ ne peut être un carré dans le corps $F_p$, en utilisant V, p. 89, prop. 1, c)).