Bài tập 10, § 1

Cho d là một số nguyên hữu tỉ không chia hết cho một bình phương $> 1$. Trong trường bậc hai $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$, ta sẽ khảo sát các phần tử khả nghịch, tức là các phần tử khả nghịch của vành A các số nguyên của K (Bài tập 8, b)). a) Nếu $d < 0$ ("các trường bậc hai ảo"), hãy chứng minh rằng các phần tử khả nghịch duy nhất của K là 1 và $-1$, ngoại trừ $d = -1$, khi i và $-i$ cũng là các phần tử khả nghịch, và $d = -3$, khi bốn số $1/2(\pm 1 \mp \sqrt{-3})$ cũng là các phần tử khả nghịch. b) Từ nay giả sử rằng $d > 0$ ("các trường bậc hai thực"), và giả sử rằng K được nhúng vào một mở rộng cực đại được sắp thứ tự của $\mathbf{Q}$ (VI, p. 25). \* chẳng hạn trong R. \* Hãy chứng minh rằng các phần tử khả nghịch dương tạo thành một nhóm con U' của nhóm U các phần tử khả nghịch của K, và rằng U là tích trực tiếp của U' và {−1, 1}. c) Hãy chứng minh rằng các phần tử khả nghịch của K là các số nguyên có chuẩn 1 hoặc −1. d) Hãy chứng minh rằng nhóm U' là không tầm thường (gọi D là biệt thức của cơ sở số nguyên (Bài tập 8, c)) ; hãy chứng minh rằng các số nguyên a của K sao cho N(α) ≤ D được phân hoạch thành một số hữu hạn các lớp đồng dư mod U ; chọn một số nguyên β, trong mỗi lớp ; nếu B là một số hữu tỉ sao cho 0 < B < inf (|β_i|), hãy chứng minh (Bài tập 9) rằng tồn tại một số nguyên β của K sao cho 0 < |β| ≤ B và N(β) ≤ D ; suy ra rằng một số ββ_i^{-1} là một phần tử khả nghịch η sao cho |η| < 1). e) Hãy chứng minh rằng U' là đẳng cấu với Z (hãy chứng minh rằng tồn tại một phần tử khả nghịch ε sao cho |ε| < 1 và |ε| là lớn nhất có thể với tính chất này, sử dụng Bài tập 9 và sự kiện rằng |ξ̄| = |ξ| : đối với một phần tử khả nghịch). f) Hãy chứng minh rằng trong Q(\sqrt{2}), phần tử \sqrt{2} - 1 là một phần tử sinh của U', và có chuẩn −1. g) Hãy chứng minh rằng nếu d có một nhân tử nguyên tố p có dạng 4n + 1, thì mọi phần tử sinh của U' đều có chuẩn 1. (Nhận xét rằng −1 không thể là một bình phương trong trường F_p, sử dụng V, p. 93, Mệnh đề 1, c)).