Exercice 11, § 1

On se propose de trouver les corps quadratiques $\mathbf{Q}(\sqrt{d})$ tels que l’application $\alpha \mapsto |\mathrm{N}(\alpha)|$ soit un stathme euclidien sur l’anneau des entiers du corps (exerc. 7). a) Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour cela est que, étant donné $\alpha \in \mathbf{Q}(\sqrt{d})$, il existe un entier $\beta$ du corps tel que $|\mathrm{N}(\alpha - \beta)| < 1$; écrire cette condition en exprimant $\alpha$ et $\beta$ au moyen d’une base des entiers du corps (exerc. 8, c)). b) Dans le cas d’un corps quadratique imaginaire ($d < 0$) montrer que les seules valeurs de $d$ pour lesquelles $|\mathrm{N}(\alpha)|$ est un stathme euclidien sont $-1, -2, -3, -7, -11$. c) Pour le cas des corps quadratiques réels, on se bornera aux cas $d \equiv 2$ ou $3$ (mod. 4). Montrer qu’il n’y a alors qu’un nombre fini de valeurs de $d$ telles que $|\mathrm{N}(\alpha)|$ soit un stathme euclidien. (Si $|\mathrm{N}(\alpha)|$ est un stathme euclidien et si $a$ est un entier naturel tel que $0 \leq a \leq d$ et que $a \equiv t^2(d)$, on montrera que $a$ ou $a - d$ est de la forme $x^2 - dy^2$ où $x$ et $y$ sont des entiers rationnels, en considérant l’élément $t/\sqrt{d}$ de $\mathbf{Q}(\sqrt{d})$; on montrera ensuite que, si $d$ est assez grand, on peut trouver un entier impair $z$ tel que $5d < z^2 < 6d$ (si $d \equiv 3$ mod. 4), ou que $2d < z^2 < 3d$ (si $d \equiv 2$ mod. 4); prendre alors $a = z^2 - d[z^2/d]$, et montrer que, dans ces conditions, ni $a$ ni $a - d$ ne sont de la forme $x^2 - dy^2$, ceci en examinant les restes mod. 8). Montrer que les seules valeurs de $d$ pour lesquelles l’entier $z$ n’existe pas sont 3, 7, 11, 19, 35, 47 et 59 (pour $d \equiv 3$ mod. 4), et 2, 6, 14 et 26 (pour $d \equiv 2$ mod. 4). Montrer qu’il y a effectivement un stathme euclidien pour $d = 2$ et $d = 3$.