Bài tập 11, § 1

Ta nghiên cứu các trường bậc hai Q(\sqrt{d}) mà trong đó ánh xạ a \mapsto |N(α)| là một hàm Euclid trên các số nguyên của trường (Bài tập 7). a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ cho điều này là với mọi a \in Q(\sqrt{d}), tồn tại một phần tử nguyên β của trường sao cho |N(a - β)| < 1 ; viết điều kiện này, biểu diễn a và β theo một cơ sở nguyên của trường (Bài tập 8, c)). b) Trong trường hợp của một trường bậc hai ảo (d < 0), chứng minh rằng các giá trị duy nhất của d mà |N(α)| là một hàm Euclid là −1, −2, −3, −7, −11. c) Đối với các trường bậc hai thực, ta sẽ hạn chế vào các trường hợp d ≡ 2 hoặc 3 (mod 4). Chứng minh rằng khi đó chỉ có hữu hạn giá trị của d sao cho |N(α)| là một hàm Euclid. (Nếu |N(α)| là một hàm Euclid và a là một số tự nhiên sao cho 0 ≤ a ≤ d và a ≡ t^2(d), thì chứng minh rằng hoặc a hoặc d − a có dạng x^2 − dy^2, trong đó x và y là các số nguyên hữu tỉ, bằng cách xét phần tử t / \sqrt{d} của Q(\sqrt{d}) ; tiếp theo chứng minh rằng với d đủ lớn tồn tại một số nguyên lẻ z sao cho 5 d < z^2 < 6d (nếu d ≡ 3 mod 4) hoặc 2d < z^2 < 3d (nếu d ≡ 2 mod 4) ; rồi đặt a = z^2 − d[z^2/d] và chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, cả a lẫn d − a đều không có dạng x^2 − dy^2, bằng cách xét các phần dư mod 8). Chứng minh rằng các giá trị duy nhất của d mà không tồn tại số nguyên z như vậy là 3, 7, 11, 19, 35, 47 và 59 (đối với d ≡ 3 mod 4) và 2, 6, 14 và 26 (đối với d ≡ 2 mod 4). Chứng minh rằng thực sự tồn tại một hàm Euclid đối với d = 2 và d = 3.