Exercice 18, § 1

Soit $M$ le monoïde multiplicatif engendré par un nombre fini d’entiers $q_i > 1$ ($1 \leq i \leq m$). Montrer que, pour tout entier $k > 0$, il existe $k$ entiers consécutifs qui n’appartiennent pas à $M$(si $h_1, \ldots, h_m$ sont $m$ entiers $> 1$, et si $k$ est le plus grand nombre d’entiers consécutifs dont aucun n’est divisible par un au moins des $h_i$, on a $(k + 1)^{-1} \leq h_1^{-1} + \cdots + h_m^{-1}$; remarquer ensuite que, pour tout $r > 0$, tous les nombres assez grands de $M$ sont multiples d’un des $q_i$ au moins). Déduire de ce résultat une nouvelle démonstration de la prop. 5 de VII, p. 5.