Bài tập 18, § 1

Cho $M$ là nửa nhóm nhân sinh bởi một số hữu hạn các số nguyên $q_i > 1$ ($1 \leq i \leq m$). Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên $k > 0$, tồn tại $k$ số nguyên liên tiếp không thuộc $M$ (nếu $h_1, \ldots, h_m$ là $m$ số nguyên $> 1$, và $k$ là số lớn nhất các số nguyên liên tiếp mà không số nào trong chúng chia hết cho bất kỳ $h_i$ nào, thì $(k + 1)^1 \leq h_1^{-1} + \ldots + h_m^{-1}$; bây giờ hãy chú ý rằng, với mọi $r > 0$, mọi số đủ lớn trong $M$ đều chia hết cho ít nhất một $q_i^+$). Từ kết quả này, hãy thu được một chứng minh mới của Mệnh đề 5 của VII, p. 5.