Exercice 20, § 1

\* Soit $\pi(x)$ le nombre des nombres premiers inférieurs au nombre réel $x > 0$. Pour tout entier $n > 0$, montrer que l’on a

(remarquer que $\binom{2n}{n}$ est multiple du produit des nombres premiers $q$ tels que $n < q \leq 2n$; montrer d’autre part, en utilisant l’exerc. 19, que $\binom{2n}{n}$ divise le produit $\prod p^{r(p)}$ où $p$ parcourt l’ensemble des nombres premiers $\leq 2n$, et où $r(p)$ est le plus grand entier tel que $p^{r(p)} \leq 2n$. Déduire de ce résultat l’existence de deux nombres réels $a, b$ tels que $0 < a < b$ et que $^1$

(remarquer que l’on a $2^{2n}(2n+1)^{-1} \leq (2n)! (n!)^{-2} \leq 2^{2n}$. *)