Bài tập 20, § 1

\* Cho $\pi(x)$ là số các số nguyên tố nhỏ hơn số thực $x > 0$. Với mỗi số nguyên $n > 0$, hãy chứng minh rằng

(chú ý rằng $\binom{2n}{n}$ là một bội của tích của tất cả các số nguyên tố q sao cho $n < q \leq 2n$); mặt khác, sử dụng Bài tập 19 để chứng minh rằng $\binom{2n}{n}$ chia hết tích $\prod p^{r(p)}$, trong đó p chạy qua tập hợp các số nguyên tố $\leq 2n$, và trong đó $r(p)$ là số nguyên lớn nhất sao cho $p^{r(p)} \leq 2n$. Suy ra từ kết quả này rằng tồn tại hai số thực a và b sao cho $0 < a < b$ và (chú ý rằng $2^{2n}(2n + 1)^1 \leq (2n)!/(n!)^{-2} \leq 2'''$).

1 Người ta đã chứng minh rằng $\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$ khi x tiến tới $+ \infty$ (xem chẳng hạn A. E. Ingham, The distribution of prime numbers (Cambridge tracts, No. 30), Cambridge University Press, 1932).

BÀI TẬP