Exercice 22, § 1

Soient $a$ et $b$ deux entiers $> 0$, $d$ leur pgcd, $n$ un entier $\geq 1$; on pose $a = da_1, b = db_1$; montrer que, dans l’expression irréductible de la fraction $a(a+b) \cdots (a+(n-1)b)/n!$, le dénominateur ne contient que des facteurs premiers divisant $b_1$ et $\leq n$ (observer que si $p$ est un nombre premier ne divisant pas $b_1$, $b_1$ est inversible mod. $p^r$ pour tout $r > 0$). En déduire une démonstration directe du fait que les coefficients binomiaux $n!/(m!(n-m)!)$ sont des entiers.