Exercice 24, § 1

a) Soit $n = \prod_k p_k^{v_k}$ un nombre entier rationnel $> 0$ décomposé en facteurs premiers. Montrer que la somme des diviseurs $> 0$ de $n$ est donnée par la formule

b) On dit que $n$ est parfait si on a $2n = \sigma(n)$. Montrer que, pour qu’un nombre pair $n$ soit parfait, il faut et il suffit qu’il soit de la forme $2^h(2^{h+1} - 1)$, où $h \geq 1$ et où $2^{h+1} - 1$ est premier. (Si $n$ est de la forme $2^m q$, où $m \geq 1$ et où $q$ est impair, montrer que $q$ est divisible par $2^{m+1} - 1$, et en déduire que, si $q$ n’était pas premier, on aurait $\sigma(n) > 2n$.)