Bài tập 24, § 1

(a) Cho $n = \prod_k p_k^{v_k} > 0$ là một số nguyên hữu tỉ được biểu diễn theo các thừa số nguyên tố của nó. Chứng minh rằng tổng các ước dương của n được cho bởi công thức

(b) Ta nói rằng n là hoàn hảo nếu $2n = \sigma(n)$. Chứng minh rằng một số chẵn n là hoàn hảo khi và chỉ khi nó có dạng $2^h(2^{h+1}-1)$, trong đó $h \geq 1$ và $2^{h+1}-1$ là nguyên tố. (Nếu n có dạng $2^m q$, trong đó $m \geq 1$ và q là số lẻ, hãy chứng minh rằng q chia hết cho $2^{m+1}-1$, và suy ra rằng, nếu q không phải là nguyên tố, thì ta có $\sigma(n) > 2n$).