Exercice 5, § 1

Soit A un anneau commutatif dans lequel tout idéal est de type fini. a) On dit qu’un élément $p \neq 0$ de A est indivisible s’il n’est pas inversible et si la relation $p = xy$ ($x \in A,\ y \in A$) entraîne que $x$ ou $y$ appartient à $Ap$. Montrer que tout élément $a \neq 0$ de A s’écrit (au moins d’une manière) comme produit d’éléments indivisibles et d’un élément inversible (utiliser le lemme 1 de VII, p. 4). b) On dit que dans un anneau commutatif B, un idempotent e est indécomposable s’il n’existe aucun couple d’idempotents non nuls $f, g$ tels que $e = f + g$ et $fg = 0$. Deux idempotents indécomposables distincts ont leur produit nul. Montrer que dans l’anneau A, tout idempotent est somme d’idempotents indécomposables (observer que si $e$ est un idempotent, il en est de même de $1 - e$, et utiliser le lemme 1 de VII, p. 4). En déduire que A est composé direct d’une famille finie d’anneaux $A_i$, dans chacun desquels tout idéal est de type fini et l’élément unité est le seul idempotent $\neq 0$. Supposons que cette famille ait au moins deux éléments. Pour qu’un élément $a = \sum_i a_i$ (avec $a_i \in A_i$ pour tout $i$) soit indivisible dans A, il faut et il suffit qu’il existe un indice $k$ tel que, pour $i \neq k$, $a_i$ soit inversible dans $A_i$ et que $a_k$ soit indivisible dans $A_k$ ou nul ; si $a$ est indivisible et $a_k = 0$, $A_k$ est nécessairement intègre. c) Montrer que si 1 est le seul idempotent $\neq 0$ dans A, et si $x \in A$ est tel que $x^k \in Ax^{k+1}$ pour un entier $k \geq 1$, ou bien $x$ est inversible, ou bien $x^k = 0$ (si $x^k = ax^{k+1}$, considérer $a^kx^k$). d) Soit $p \neq 0$ un diviseur de zéro dans A. Montrer qu’il existe une suite finie $(a_k)_{1 \leq k \leq m}$ d’éléments $\neq 0$ de A telle que $0 = pa_1,\ a_k = pa_{k+1}$ pour $1 \leq k < m,\ a_m \notin Ap,\ (a_k) \neq (a_{k+1})$ pour $1 \leq k < m$.