Bài tập 5, § 1

Cho $A$ là một vành giao hoán trong đó mọi iđêan đều sinh hữu hạn. a) Một phần tử $p \neq 0$ của $A$ được gọi là không phân tích được nếu nó không khả nghịch và nếu quan hệ $p = xy$ ($x, y \in A$) suy ra rằng hoặc $x$ hoặc $y$ thuộc $Ap$. Hãy chứng minh rằng mọi phần tử $a \neq ()$ của $A$ đều có thể viết (theo ít nhất một cách) thành tích của các phần tử không phân tích được và một phần tử khả nghịch (dùng Bổ đề 1 của VII, p. 4). b) Một phần tử lũy đẳng $e$ trong một vành giao hoán $A$ được gọi là không phân tích được nếu không tồn tại một cặp phần tử lũy đẳng khác không $f, g$ sao cho $f + g = e$ và $fg = 0$. Hai phần tử lũy đẳng không phân tích được phân biệt có tích bằng không. Hãy chứng minh rằng mọi phần tử lũy đẳng trong vành $A$ đều là tổng của các phần tử lũy đẳng không phân tích được (chứng minh rằng nếu e là một phần tử lũy đẳng thì I − e cũng là một phần tử lũy đẳng, và dùng Bổ đề 1 của VII, p. 4). Suy ra rằng A là tích trực tiếp của một họ hữu hạn các vành A,, trong mỗi vành đó mọi iđêan đều sinh hữu hạn, và phần tử đơn vị là phần tử lũy đẳng khác không duy nhất. Giả sử họ này có ít nhất hai phần tử. Khi đó một phần tử a = $\sum a_i$ (với a, ∈ A, với mọi i) là không phân tích được khi và chỉ khi tồn tại một chỉ số k sao cho a, hoặc là không phân tích được hoặc là không trong $A_k$, và a, khả nghịch trong A, với mọi i ≠ k ; nếu $a_k = 0$ thì $A_k$ nhất thiết là một miền nguyên. c) Hãy chứng minh rằng nếu 1 là phần tử lũy đẳng khác không duy nhất của A, và nếu x ∈ A sao cho $x^k \in A x^{k-1}$ với một số số nguyên k ≥ 1, thì hoặc x khả nghịch hoặc $x^k = 0$ (nếu $x^k = a x^{k'}$), khi đó xét $a^{k'} x^{k'}$. d) Cho p ≠ 0 là một ước của không trong A. Hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy hữu hạn (a,), $1 \leq k < m$ gồm các phần tử khác không của A sao cho 0 = pa,, a, =pa,+ , với 1 ≤ k < m, $a_m \notin A_p$, và $(a_k) \neq (a_{,,})$ với 1 ≤ k < m.