Exercice 6, § 1

On dit qu’un anneau commutatif A est quasi-principal si tout idéal de A est principal. a) Montrer qu’un anneau quotient d’un anneau quasi-principal et un produit fini d’anneaux quasi-principaux sont quasi-principaux. b) Montrer que tout anneau quasi-principal A est composé direct d’une famille finie $(A_i)_{1 \leq i \leq m}$ d’anneaux quasi-principaux dans chacun desquels l’élément unité est le seul idempotent $\neq 0$ (utiliser l’exerc. 5, b)). c) On suppose que A est un anneau quasi-principal dans lequel l’élément unité est le seul idempotent $\neq 0$ et où il existe des diviseurs de zéro autres que 0. Montrer qu’il existe un élément indivisible nilpotent $p$ dans A. (Utilisant l’exerc. 5, a), montrer qu’il existe un élément indivisible $p \neq 0$ dans A qui est diviseur de 0 ; appliquer alors l’exerc. 5, d), puis prouver que l’idéal principal $Ab$ des $y \in A$ tels que $yp^m \in Ap^{m+1}$ est égal à A ; utiliser enfin l’exerc. 5, c)). d) Les hypothèses et notations étant celles de c), supposons que $p^m = 0,\ p^{m-1} \neq 0$. Montrer que l’annulateur de $p^{m-1}$ est $Ap$ (dans le cas contraire, ce serait un idéal principal Ac avec $p \in Ac,\ c \notin Ap$ ; utilisant le fait que $p$ est indivisible, en déduire que c serait inversible) ; en déduire que pour $1 \leq k \leq m-1$, l’annulateur de $p^{m-k}$ est $Ap^k$. Conclure de là que l’idéal $Ap$ est maximal (raisonner comme pour la première assertion de d), en utilisant le fait que $1 - xp$ est inversible dans A pour tout $x \in A$. e) Déduire de d) que pour tout $x \in A$, il existe un entier $k \geq 0$ et un élément inversible $u$ tels que $x = up^k$, et que les seuls idéaux de A sont les $Ap^k$ ($0 \leq k \leq m$) (observer que tout élément de A n’appartenant pas à $Ap$ est inversible dans A). f) Soient A un anneau quasi-principal, $(x_i)$ une famille d’éléments de A, Ad l’idéal engendré par la famille $(x_i)$; montrer qu’il existe des éléments $x_i'$ de A tels que $x_i = dx_i'$ pour tout $i$, et $\sum_i Ax_i' = A$ (se ramener au cas où 1 est le seul idempotent $\neq 0$ de A). g) Donner un exemple d’un anneau quasi-principal A et d’un élément indivisible $p \in A$ tel que l’idéal $Ap$ ne soit pas maximal (utiliser l’exerc. 5, b)).