Bài tập 6, § 1

Một vành giao hoán A được gọi là một vành iđêan chính nếu mọi iđêan của A đều là chính. a) Chứng minh rằng một vành thương của một vành iđêan chính và một tích hữu hạn của các vành iđêan chính là các vành iđêan chính. b) Chứng minh rằng mọi vành iđêan chính A là một tích trực tiếp của một họ hữu hạn (A,) , $1 \leq i \leq m$ các vành iđêan chính mà trong mỗi vành đó phần tử đơn vị là phần tử lũy đẳng khác không duy nhất (dùng Bt. 5, b)). c) Giả sử rằng A là một vành iđêan chính trong đó phần tử đơn vị là phần tử lũy đẳng khác không duy nhất, và chứa các ước của không khác 0. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử lũy linh không thể phân chia p trong A. (Dùng Bt. 5, a), chứng minh rằng tồn tại một phần tử không thể phân chia p ≠ 0 trong A là một ước của không ; áp dụng Bt. 5 d), rồi chứng minh rằng iđêan chính Ab của y ∈ A sao cho yp^m ∈ Ap^{m-1} là toàn bộ A ; cuối cùng áp dụng Bt. 5, c)). d) Với các giả thiết và ký hiệu như trong c), giả sử rằng $p^m = 0$ và $p^{m'} \neq 0$. Chứng minh rằng linh hóa tử của $p^{m'}$ là Ap (nếu không thì nó sẽ là một iđêan chính Ac với p ∈ Ac và c ∉ Ap ; dùng tính chất p không thể phân chia, suy ra rằng c sẽ là khả nghịch) ; suy ra rằng, với $1 \leq k \leq m$, linh hóa tử của $p^{m-k}$ là $Ap^k$. Kết luận rằng iđêan Ap là cực đại (lập luận như đối với khẳng định đầu tiên của d), dùng tính chất rằng 1 − xp là khả nghịch trong A với mọi x ∈ A). e) Suy ra từ d) rằng với mọi x ∈ A tồn tại một số nguyên k ≥ 0 và một phần tử khả nghịch u sao cho x = up^k, và rằng các iđêan duy nhất của A là các $Ap^k$ ($0 \leq k \leq m$) (nhận xét rằng mọi phần tử của A không thuộc Ap đều là khả nghịch trong A). f) Cho A là một vành iđêan chính, cho (x,) là một họ các phần tử của A, và cho Ad là iđêan sinh bởi họ (x,) ; chứng minh rằng tồn tại các phần tử $x'_i$ của A sao cho $x_i = dx'_i$ với mọi i, và $\sum A x'_i = A$ (rút gọn về trường hợp trong đó 1 là phần tử lũy đẳng khác không duy nhất của A). g) Cho một ví dụ về một vành iđêan chính và một phần tử không thể phân chia p của A sao cho iđêan Ap không là cực đại (dùng Bt. 5, b)).