Exercice 7, § 1

Étant donné un anneau intègre A, on dit qu’une application w de $A' = A - \{0\}$ dans $\mathbf{N}$ est un stathme euclidien si elle satisfait aux conditions suivantes : $(S_I)$ $w(xy) \geq w(y)$ pour tout couple d’éléments $x,\ y$ de $A'$. $(S_{II})$ Si $a \in A'$ et $b \in A'$, il existe des éléments $q,\ r$ de A tels que $a = bq + r$, et que l’on ait, soit $r = 0$, soit $w(r) < w(b)$. On dit que A est un anneau euclidien s’il existe un stathme euclidien sur A. a) Montrer que $\mathbf{Z}$ et $K[X]$ (où K est un corps) sont des anneaux euclidiens.

b) Montrer que tout anneau euclidien est principal (si $a$ est un idéal de $A$, prendre $a \in a$ tel que $w(a)$ soit le plus petit possible). c) Montrer que l’anneau $A$ des entiers de Gauss (VII, p. 1) est euclidien pour le stathme $w(a + bi) = a^2 + b^2 = N_{\mathbf{Q}(i)/\mathbf{Q}}(a + bi)$ (remarquer que, pour tout $x \in \mathbf{Q}(i)$, il existe $y \in A$ tel que $N(x - y) \leq 1/2$). d) Montrer que l’anneau $B$, extension quadratique de $\mathbf{Z}$ ayant pour base $(1, e)$ ($e^2 = 2$), est euclidien pour le stathme

(pour tout $x \in \mathbf{Q}(e)$, il existe $y \in B$ tel que $|N(x - y)| \leq 1/2$).