Bài tập 7, § 1

Cho một miền nguyên A, ta gọi một ánh xạ w từ $A' = A - \{0\}$ vào N là một hàm Euclid nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : (S,) w(xy) ≥ w(y) với mỗi cặp x, y các phần tử của A'. (S,,) Nếu a ∈ A' và b ∈ A', thì tồn tại các phần tử q, r của A sao cho a = bq + r, và sao cho hoặc là $r = 0$ hoặc là $w(r) < w(b)$.

Nếu tồn tại một hàm Euclid trên A thì A được gọi là một miền Euclid. a) Chứng minh rằng Z và K[X ] (trong đó K là một trường) là các miền Euclid. b) Chứng minh rằng mọi miền Euclid đều là một miền iđêan chính (nếu a là một iđêan của A, chọn $a \in a$ sao cho $w(a)$ là nhỏ nhất có thể). c) Chứng minh rằng vành A của các số nguyên Gaussian (VII, p. 1) là một miền Euclid đối với hàm $w(a + bi) = a^2 + b^2 = N_{\mathbf{Q}(i)/\mathbf{Q}}(a + bi)$ (chú ý rằng, với mọi $x \in \mathbf{Q}(i)$, tồn tại $y \in A$ sao cho $N(x - y) \leq 112$). d) Chứng minh rằng vành mở rộng bậc hai B của Z với cơ sở $(1, e)$ ($e' \equiv 2$), là một miền Euclid đối với hàm

(với mọi $x \in \mathbf{Q}(e)$, tồn tại $y \in B$ sao cho $|N(x - y)| \leq 112$)