Exercice 9, § 1

\* (Lemme de Minkowski) Si $a, b, c, d$ sont des nombres réels, et si $D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, les inégalités $|na + mb| \leq A, |nc + md| \leq B$ ont des solutions en nombres entiers non tous deux nuls $(n, m)$ si $A > 0, B > 0, D > 0$ et $AB \geq D$, et ces solutions sont en nombre fini (considérer, dans $\mathbf{R}^2$, le sous-groupe discret $G$ engendré par $(a, c)$ et $(b, d)$, et montrer que le pavé $E$ défini par les relations $0 \leq x \leq A, 0 \leq y \leq B$, dont l’aire est supérieure à celle du parallélégramme construit sur les vecteurs $(a, c)$ et $(b, d)$, contient deux vecteurs distincts congrus mod. $G$; on raisonnera par l’absurde en remarquant que, dans le cas contraire, les $p^2$ pavés déduits de $E$ par les translations $(ha + kb, hc + kd)$, où $0 \leq h < p, 0 \leq k < p$, seraient deux à deux sans point commun.) \*