Bài tập 9, § 1

\* (Định lý Minkowski) Nếu a, b, c, d là các số thực, và $D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, thì các bất đẳng thức $|na + mb| \leq A, |nc + md| \leq B$ có các nghiệm số nguyên khác không $(n, m)$ nếu $A > 0, B > 0, D > 0$ và $AB \geq D$, và số các nghiệm như vậy là hữu hạn (xét nhóm con rời rạc G của $\mathbf{R}^2$ sinh bởi $(a, c)$ và $(b, d)$, và chứng minh rằng hình chữ nhật E xác định bởi các hệ thức $0 \leq x \leq A, 0 \leq y \leq B$, có diện tích lớn hơn diện tích của hình bình hành dựng trên các vectơ $(a, c)$ và $(b, d)$, chứa hai vectơ phân biệt đồng dư mod G; lập luận phản chứng, nhận thấy rằng nếu không thì $p^2$ hình chữ nhật thu được từ E bằng các phép tịnh tiến $(ha + kb, hc + kd)$, trong đó $0 \leq h < p$ và $0 \leq k < p$, sẽ đôi một rời nhau).