Exercice 11, § 3

Soient A, B deux ensembles infinis de nombres premiers rationnels, sans élément commun et ne contenant pas le nombre 5. Soit $(e_i)_{1 \leq i \leq 4}$ la base canonique du $\mathbf{Q}$-espace vectoriel $\mathbf{Q}^4$. a) Soient M le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e_1/m$, pour $m \in A$; N le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e_2/m$ avec $m \in A$, $e_3/n$ avec $n \in B$ et $(e_2 + e_3)/5$. On a $M \cap N = 0$. On pose $e'_1 = 8e_1 + 3e_2$, $e'_2 = 5e_1 + 2e_2$. Soient M’ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e'_1/m$ avec $m \in A$; N’ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e'_2/m$ avec $m \in A$, $e_4/n$ avec $n \in B$, et $(3e'_2 + e_3)/5$. Montrer que $M' \cap N' = 0$, $M \oplus N = M' \oplus N'$; M et M’ sont isomorphes et indécomposables, N et N’ sont indécomposables mais non isomorphes (comparer à VII, p. 65, exerc. 23). b) Soient M le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e_1/m$ avec $m \in A$, $e_2/n$ avec $n \in B$ et $(e_1 + e_2)/5$; N le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e_3/m$ avec $m \in A$, $e_4/n$ avec $n \in B$, et $(e_3 + e_4)/5$. On pose $e'_1 = 2e_1 + e_3$, $e'_2 = e_2 + 3e_4$, $e'_3 = 17e_1 + 9e_3$, $e'_4 = e_2 + 2e_4$. Soient $M'$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les $e'_1/m$ avec $m \in A$, $e'_2/n$ avec $n \in B$, et $(e'_1 + 2e'_2)/5$; $N'$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les $e'_3/m$ avec $m \in A$, $e'_4/n$ avec $n \in B$, et $(e'_3 + 2e'_4)/5$. Montrer que $M \oplus N = M' \oplus N'$, que $M$ et $N$ sont isomorphes, ainsi que $M'$ et $N'$, mais que $M$ n’est pas isomorphe à $M'$.

c) Soient $M$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les $e_1/5^n$ ($n \geqslant 0$); $N$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e_2/5^n, e_3/2^n, e_4/3^n$ ($n \geqslant 0$), $(e_2 + e_3)/3$ et $(e_2 + e_4)/2$. On pose $e'_1 = 3e_1 - e_2$, $e'_2 = 2e_1 - e_2$. Soient $M'$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e'_1/5^n, e_3/2^n$ ($n \geqslant 0$) et $(e'_1 - e_3)/8$; $N'$ le sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Q}^4$ engendré par les éléments $e'_2/5^n, e_4/3^n$ ($n \geqslant 0$) et $(e'_2 - e_4)/2$. Montrer que $M \oplus N = M' \oplus N'$, que $M'$ et $N'$ sont indécomposables et de rang 2, tandis que $M$ est de rang 1.