Bài tập 11, § 3

Cho A và B là hai tập hợp vô hạn các số nguyên tố hữu tỉ, không có phần tử chung, và không chứa số 5. Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq 4}$ là cơ sở chính tắc của không gian vectơ $\mathbf{Q}$-vectơ $\mathbf{Q}^4$. a) Cho M là môđun con Z của $\mathbf{Q}^4$ sinh bởi các phần tử $e_1/m$ với $m \in A$; cho N là môđun con Z của $\mathbf{Q}^4$ sinh bởi các phần tử $e_2/m$ với $m \in A$, $e_3/n$ với $n \in B$, và $(e_1 + e_3)/5$. Khi đó $M \cap N = 0$. Đặt $e'_1 = 8e_1 + 3e_2$ và $e'_2 = 5e_1 + 2e_2$. Cho $M'$ là môđun con Z của $\mathbf{Q}^4$ sinh bởi các phần tử $e'_1/m$ với $m \in A$; cho $N'$ là môđun con Z của $\mathbf{Q}^4$ sinh bởi các phần tử $e'_2/m$ với $m \in A$, $e_4/n$ với $n \in B$, và $(3e'_2 + e_3)/5$. Chứng minh rằng $M' \cap N' = 0$, rằng $M \oplus N = M' \oplus N'$; rằng M và $M'$ là đẳng cấu và không phân tích được; và rằng N và N' không phân tích được nhưng không đẳng cấu (so sánh VII, p. 69, Bài tập 23). b) Cho M là môđun con Z của Q^4 sinh bởi các phần tử e_1/m với m \in A, e_2/n với n \in B, và (e_1 + e_2)/5; cho N là môđun con Z của Q^4 sinh bởi các phần tử e_3/m với m \in A, e_4/n với n \in B, và (e_1 + e_4)/5. Đặt e'_1 = 2e_1 + e_3, e'_2 = e_2 + 3e_4, e'_3 = 17e_1 + 9e_3, và e'_4 = e_2 + 2e_4. Cho M' là môđun con Z của Q^4 sinh bởi các phần tử e'_1/m với m \in A, e'_2/n với n \in B, và (e'_1 + 2e'_2)/5; cho N' là môđun con Z của Q^4 sinh bởi các phần tử e'_3/m với m \in A, e'_4/n với n \in B, và (e'_3 + 2e'_4)/5. Chứng minh rằng M \oplus N = M' \oplus N', rằng M đẳng cấu với N và M' đẳng cấu với N', nhưng M' không đẳng cấu với M. c) Cho M là môđun con Z của Q^4 sinh bởi e_1/5^n (n \geq 0); cho N là môđun con của Q^4 sinh bởi e_2/5^n, e_3/2^n, e_4/3^n (n \geq 0), (e_2 + e_3)/3 và (e_2 + e_4)/2. Đặt e'_1 = 3e_1 - e_2 và e'_2 = 2e_1 - e_. Cho M' là môđun con Z của Q^4 sinh bởi các phần tử e'_1/5^n, e_3/2^n (n \geq 0) và (e'_1 - e_3)/8; cho N' là môđun con Z của Q^4 sinh bởi các phần tử e'_2/5^n, e_4/3^n (n \geq 0) và (e'_2 - e_4)/2. Chứng minh rằng M \oplus N = M' \oplus N', rằng M và N' không phân tích được có hạng 2, và rằng M có hạng 1.