Exercice 3, § 3

Algèbre, VII, p. 58

Soit $(p_n)$ une suite strictement croissante de nombres premiers telle que $p_n$ ne divise aucun des nombres

a + b(1 + p_1 + p_1p_2 + \cdots + p_1p_2 \cdots p_{n-1}) \quad \text{pour} \quad |a| \leq n \text{ et } |b| \leq n .

Dans le plan rationnel $\mathbf{Q}^2$ , on considère le $\mathbf{Z}$ -module M engendré par la suite $(x_n)$ définie de la façon suivante :

x_0 = (1, 0) , \quad x_1 = (0, 1) , \quad x_{n+1} = p_n^{-1}(x_0 + x_n) \quad \text{pour} \quad n \geq 1 .

Montrer que M est de rang 2, et que tout sous-module de rang 1 de M est monogène (remarquer que $x_0$ et $x_n$ forment une base du sous-module de M engendré par les $x_i$ d’indice $i \leq n$ ).

Solution

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