Bài tập 3, § 3

Đại số, VII, p. 59

Cho $(p_n)$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên tố sao cho $p_n$ không chia hết cho bất kỳ số nào trong các số

a + b(1 + p_1 + p_1 p_2 + \cdots + p_1 p_2 \cdots p_{n-1}) \quad \text{với} \quad |a| \leq n \quad \text{và} \quad |b| \leq n .

Trong mặt phẳng hữu tỉ $\mathbf{Q}^2$ , xét $\mathbf{Z}$ -môđun $M$ sinh bởi dãy $(x_i)$ được xác định như sau:

x_0 = (1, 0), \quad x_1 = (0, 1), \quad x_{n+1} = p_n^{-1}(x_0 + x_n) \quad \text{với } n \geq 1.

Chứng minh rằng $M$ có hạng 2, và mọi môđun con hạng 1 của $M$ đều là cyclic (chú ý rằng $x_0$ và $x_n$ lập thành một cơ sở của môđun con của $M$ sinh bởi các $x_i$ với $i \leq n$ ).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.