Exercice 6, § 3

Soit A un anneau principal ayant un seul idéal maximal $A\pi$, et complet pour la topologie $\mathscr{T}$ définie dans l’exerc. 5. a) Montrer que tout A-module sans torsion E, ne contenant aucun sous-module divisible $\neq 0$, et de rang fini, est un module libre (considérer un sous-module M de E engendré par une famille pseudolibre maximale ; si M $\neq$ E, montrer, à l’aide des exerc. 4, b) et 5, b), que E contient un sous-module divisible $\neq 0$). Généraliser ce résultat au cas où E est de rang dénombrable (procéder par récurrence). b) Dans le module libre $E = A^{(\mathbf{N})}$ (somme directe d’une infinité dénombrable de modules isomorphes à A), soit $(a_n)_{n \geq 0}$ la base canonique, et soit $e_n = a_{n-1} - \pi a_n$ pour tout entier $n \geq 1$. Montrer que le sous-module M de E engendré par les $e_n$ est pur et que les $e_n$ forment une famille pseudolibre maximale, mais que $E/M$ est un module divisible, et par suite que M n’admet pas de supplémentaire dans E.