Bài tập 6, § 3

Cho $A$ là một miền iđêan chính với một iđêan cực đại duy nhất $A \tau$, và đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$ được định nghĩa trong Bài tập 5. a) Chứng minh rằng mọi $A$-môđun xoắn tự do $E$ có hạng hữu hạn, không chứa môđun con chia được khác không, đều là tự do (xét một môđun con $M$ của $E$ được sinh bởi một họ giả tự do cực đại; nếu $M \neq E$ hãy chứng minh, với sự trợ giúp của Bài tập 4, b) và 5, b), rằng $E$ chứa một môđun con chia được khác không). Tổng quát hóa kết quả này cho trường hợp $E$ có hạng đếm được (tiến hành bằng quy nạp). b) Trong môđun tự do $E = A^{(\mathbf{N})}$ (tổng trực tiếp của vô hạn đếm được các bản sao của $A$), cho $(a_n)_{n=1}^\infty$ là cơ sở chính tắc, và cho $e_n = a_n - \pi a_n$ với mỗi số nguyên $n \geq 1$. Chứng minh rằng môđun con $M$ của $E$ sinh bởi các $e_n$ là thuần, và rằng các $e_n$ tạo thành một họ giả tự do cực đại, nhưng $E/M$ là một môđun chia được, và do đó $M$ không nhận một phần bù trong $E$.