Exercice 7, § 3

Soient $p$ un nombre premier, A l’anneau des nombres rationnels de la forme $r/s$, où s est étranger à $p$ (VII, p. 48, exerc. 4).

Soient $u = (1, 0)$ et $v = (0, 1)$ les éléments de la base canonique de l’espace vectoriel $E = \mathbf{Q}^2$ sur $\mathbf{Q}$. Dans E, on détermine par récurrence sur $n$ la suite des éléments $u_n$ de sorte que $u_0 = u$ et $u_n = pu_{n+1} + v$ pour $n \geq 0$. Soit F le A-module engendré par $v$ et les $u_n$; montrer que F n’est pas un module libre, mais ne contient aucun sous-module divisible $\neq 0$ (cf. exerc. 6, a)).