Bài tập 7, § 3

Cho $p$ là một số nguyên tố và gọi $\mathbf{A}$ là vành các số hữu tỉ có dạng $r/s$, trong đó $s$ nguyên tố cùng nhau với $p$ (VII, p. 48, Ex. 4). Cho $u = (1, 0)$ và $v = (0, 1)$ là các phần tử của cơ sở chính tắc của không gian vectơ $E = \mathbf{Q}^2$ trên $\mathbf{Q}$. Định nghĩa đệ quy một dãy các phần tử $u_n$ của $E$ bởi $u_0 = u$ và $u_n = p u_{n+1} + v$ với $n \geq 0$. Cho F là A-môđun con sinh bởi $v$ và $u_n$ ; chứng minh rằng F không là một môđun tự do, nhưng không chứa môđun con chia được khác không (xem Bài tập 6, a)).