Exercice 8, § 3

Soit A un anneau principal qui n’est pas un corps. a) Montrer que le A-module produit $A^\mathbf{N}$ n’admet pas de système dénombrable de générateurs. (Si A est dénombrable, considérer Card$(A^\mathbf{N})$; sinon, remarquer que si, pour tout $x \in A$, $v_x$ est l’élément $(x^n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $A^\mathbf{N}$, les $v_x$ forment un système libre.) b) Soit $\pi$ un élément extrémal de A. On désigne par S le sous-module de $A^\mathbf{N}$ formé des suites $z = (z_n)_{n \in \mathbf{N}}$ telles qu’il existe une suite d’entiers $(k(n))_{n \in \mathbf{N}}$, tendant vers $+\infty$, et pour laquelle $z_n \in A \pi^{k(n)}$ (la suite $(k(n))$ dépendant naturellement de z). Montrer que le $(A/\pi)$-espace vectoriel $S/\pi S$ possède une base dénombrable. c) Déduire de a) et b) que $A^\mathbf{N}$ n’est pas un A-module libre. (Dans le cas contraire, S serait un A-module libre ayant une base dénombrable ; mais $(x_n) \mapsto (x_n \pi^n)$ est une application A-linéaire injective de $A^\mathbf{N}$ dans S.)