Bài tập 8, § 3

Cho A là một miền iđêan chính không phải là một trường. a) Chứng minh rằng A''-môđun tích A'' không có hệ sinh đếm được nào. (Nếu A đếm được, xét Card(A^N); ngược lại nhận thấy rằng, nếu với mọi x \in A ta ký hiệu v_x là phần tử $(x^n)_{n \geq 0}$ của A'', thì các $v_x$ lập thành một hệ tự do). b) Cho $\pi$ là một phần tử bất khả quy của A. Gọi S là môđun con của A'' gồm các dãy $z = (z_n)_{n \in \mathbf{N}}$ sao cho tồn tại một dãy $(k(n))_{n \in \mathbf{N}}$ các số nguyên tiến tới $+\infty$ (phụ thuộc vào z), sao cho $z_n \in A \pi^{k(n)}$ với mọi n. Chứng minh rằng không gian vectơ $(A/\pi)$ $S/\pi S$ có một cơ sở đếm được. c) Suy ra từ a) và b) rằng $A^N$ không phải là một A-môđun tự do. (Nếu không, S sẽ là một A-môđun tự do với một cơ sở đếm được; nhưng $(x,$ $(x_n \pi^n)$ là một ánh xạ A-tuyến tính đơn ánh từ $A^N$ vào S.)