Exercice 9, § 3

Soient A un anneau principal et M le dual du A-module $A^\mathbf{N}$. Soit $f : M \to A^\mathbf{N}$ l’application transposée de l’injection canonique $A^{(N)} \to A^\mathbf{N}$ (on identifie $A^\mathbf{N}$ au dual de $A^{(N)}$). a) Soient $\pi$ un élément extrémal de A et $\varphi : A^\mathbf{N}/A^{(N)} \to A$ une forme linéaire ; montrer que si $u \in A^\mathbf{N}/A^{(N)}$ est la classe d’un élément $(u_n) \in A^\mathbf{N}$ tel que $u_n \in (\pi^n)$ pour tout $n$, alors $\varphi(u) = 0$. Si A possède deux éléments extrémaux non associés, en déduire que $f$ est injective. (En utilisant ce qui précède et l’identité de Bezout, montrer que le dual de $A^\mathbf{N}/A^{(N)}$ est nul.) b) On munit A de la topologie de l’exerc. 5 de VII, p. 58. Montrer que, si $f(M)$ n’est pas contenu dans $A^{(N)}$, alors A est complet. (Se ramener à prouver que si $\varphi : A^\mathbf{N} \to A$ est une forme linéaire telle que $\varphi(e_n) \neq 0$ pour tout élément $e_n$ de la base canonique de $A^{(N)}$, alors Im$(\varphi)$ contient les sommes de toutes les séries d’éléments de A qui tendent vers 0 assez vite.) c) Si A possède deux éléments extrémaux non associés, l’application canonique de $A^{(N)}$ (resp. $A^\mathbf{N}$) dans son bidual est bijective (utiliser a) et b)).