Bài tập 9, § 3

Cho A là một miền iđêan chính và cho M là đối ngẫu của A-môđun $A^N$. Cho $f : M \to A^N$ là ánh xạ chuyển vị của đơn ánh chính tắc $A^{(N)} \to A''$ (trong đó $A^N$ được đồng nhất với đối ngẫu của $A^{(N)}$). a) Cho $\pi$ là một phần tử bất khả quy của A và cho $\varphi : A^N/A^{(N)} \to A$ là một dạng tuyến tính; hãy chứng minh rằng nếu $u \in A^N/A^{(N)}$ là lớp của một phần tử $(u_n) \in A''$ sao cho $u_n \in (\pi^n)$ với mọi $n$, thì $\varphi(u) = 0$. Nếu A chứa hai phần tử bất khả quy không liên kết, hãy suy ra rằng f là đơn ánh. (Dùng điều trên và đồng nhất thức Bezout, hãy chứng minh rằng đối ngẫu của $A^N/A^{(N)}$ là không.) b) Trang bị cho A tôpô được xác định trong Ex. 5 của VII, p. 60. Hãy chứng minh rằng, nếu f(M) không được chứa trong $A^{(N)}$, thì A là đầy đủ. (Rút gọn bài toán về việc chứng minh rằng, nếu $\varphi : A^N \to A$ là một dạng tuyến tính sao cho $\varphi(e_n) \neq 0$ với mọi phần tử $e_n$ của cơ sở chính tắc của $A^{(N)}$, thì $\operatorname{Im}(\varphi)$ chứa tổng của mọi chuỗi các phần tử của A hội tụ về 0 đủ nhanh.) c) Nếu A chứa hai phần tử bất khả quy không liên kết, thì ánh xạ chính tắc từ $A^{(N)}$ (resp. A') vào đối ngẫu kép của nó là song ánh (dùng a) và b)).